Gilbert Strang의 18.065강의 3강 Eigenvalues and Eigenvectors를 정리한 글이다. 해당 강의에서는 eigenvector의 성질에서 부터 대칭 행렬의 eigenvalue와 vector, Diagonalizing matrix에 대해 다룬다.
Eigenvector와 Eigenvalue 공식
$x: eigenvector\;of\;A\\ \lambda: eigenvalue\;of\;A$
$\large Ax = \lambda x, \;\;\; \small {A: n\times n}$
Matrix $A^k$에 대해, Eigenvector는 유지되고, Eigenvalue는 $\lambda ^k$를 갖는다.
$A^2x = A (Ax) = A(\lambda x) = \lambda (Ax) = \lambda^2x$
$A^3x = A(A^2x) = A(\lambda^2x) = \lambda^2(Ax) = \lambda^3x$
$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\cdot\\cdot\\cdot$
$A^{k-1}x = A(A^{k-2}x) = A(\lambda^{k-2}x) = \lambda^{k-2}(Ax) = \lambda^{k-1}x$
$A^{k}x = A(A^{k-1}x) = A(\lambda^{k-1}x) = \lambda^{k-1}(Ax) = \lambda^{k}x$
$\large A^{-1}x = {1\over\lambda}x \;\;\;\;\small{(\lambda \neq 0)}$
왜 이 특성이 유용할까?
$Any \;\; vector \\ \;\;\;\;\; v = c_1x_1 + \cdot\cdot\cdot + c_nx_n$
$v_1 = Av = c_1\lambda_1x_1 + \cdot\cdot\cdot + c_n\lambda_nx_n$
$v_k = A^kv = c_1\lambda_1^kx_1 + \cdot\cdot\cdot + c_n\lambda_n^kx_n$
만약 $\mid\lambda_1\mid > 1$이라면, $c_1\lambda_1^nx_1$은 $n$이 커짐에 따라 커진다.
만약 $\mid\lambda_2\mid < 1$이라면, $c_2\lambda_2^nx_2$은 $n$이 커짐에 따라 작아져 사라진다.
⇒ 각 eigenvector를 각각 따라가게 된다.
$S = \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\\ \end{bmatrix}$의 $eigen vecotr \; x = \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ \end{bmatrix}$, $eigenvalue\; \lambda = 3, 1$
$(Trace\;of\;S) =\large{\Sigma \lambda_i}$
$(Determinant) = \Pi \lambda_i$
$(Real\; eigenvalues)\; Symmetric \; matrices\; S = S^T \;always \;have \;real \;eigenvalues$
$(Orthogonal \; eigenvectors)\; If \;\lambda_1 \neq \lambda_2, \; then \; x_1\cdot x_2 = 0$
Matrix $A$가 System of linear differential equations 조절
$\large{du \over dt} = Au$
$u(0) = c_1x_1 + \cdot\cdot\cdot + c_nx_n$
$u(1) = c_1e^{\lambda_1}x_1 + \cdot\cdot\cdot + c_ne^{\lambda_n}x_n$
$u(t) = c_1e^{\lambda_1t}x_1 + \cdot\cdot\cdot + c_ne^{\lambda_nt}x_n$
${e^{At}x = e^{\lambda t}x}$ 도 성립한다!